All three of the words above can mean "occupied," yet there are certain situations in which only one is applicable. They also have other unrelated definitions that can cause a bit of confusion.

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The adjective besetzt means that something is in use. It is used for seats, taxis, phone lines, rooms, and toilets. It is also used to denote people occupying a place in protest.

Ein wenig Ruhe täte jetzt gut, aber dieser Platz ist schon besetzt.

A little rest now would do it good, but this place is already occupied.

Caption 21, Abenteuer Nordsee: Unter Riesenhaien und Tintenfischen

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Die Leitwarte ist rund um die Uhr besetzt.

The control room is staffed around the clock.

Caption 24, Ab in den Urlaub: So kommt der Koffer in den Flieger

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Die Klimaaktivisten, die den Ort besetzt haben, wollen nicht kampflos aufgeben.

The climate activists who have occupied the site don't want to give up without a fight.

Captions 48-49, Langsam gesprochene: Nachrichten Gewalt in der Silvesternacht

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The word belegt suggests something has been assigned, reserved, or is already taken. It can be used when talking about food. The verb etwas belegen also means "to prove" or "to document." You might know the word der Beleg (the receipt) from when you do your shopping!

Die besten Plätze sind schnell belegt.

The best places are quickly occupied.

Caption 43, Abenteuer Nordsee: Unter Riesenhaien und Tintenfischen 

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Nun muss ich meinen Teig nur noch mit den Apfelstücken belegen.

Now I just have to cover the batter with the apple pieces.

Caption 29, Apfelkuchen mit Eva

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Es gibt tatsächlich keine einzige Studie, die belegt, dass die Dämpfung uns vor Verletzungen schützt.

In fact, there is not a single study that proves that the cushioning protects us from injuries.

Captions 20-21, Gesundheit: Warum Barfußlaufen vor Verletzungen schützen könnte

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The adjective beschäftigt means busy or occupied. It usually refers to people and can mean they are working or too busy to do something. It can also mean "employed" or "preoccupied."

Dann ist auch die Mutter damit beschäftigt, Nahrung herbeizuschaffen.

Then the mother is also occupied with providing nourishment.

Caption 31, Alpenseen: Kühle Schönheiten

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Auf der Baustelle werden mehrere Tausend Menschen beschäftigt sein.

At the construction site, several thousand people will be employed.

Caption 28, Die Insel Fehmarn So wird der Fehmarnbelt-Tunnel gebaut

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Trotzdem hat mich dieses Thema immer wieder beschäftigt.

Nevertheless, this topic has always preoccupied me.

Caption 23, Deutsch mit Eylin: Weniger müssen, mehr dürfen

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Further Learning

You'll find many more examples on Yabla German. Particularly for besetzt and belegt, have a look and compare the situations they are used in.